Лекція №2. Модель з урахуванням витрат на виконання замовлення
А.А.Тюхтина.Модели управления запасами
Надіслав: Черненко Анжела (19 березня 2019р.)
Анотація

Очні приклади застосування динамічних моделей управління запасами.

Лекція №2. Модель з урахуванням витрат на виконання замовлення

 

Аналіз моделей управління запасами досі стосувався ситуацій, коли попит відомий заздалегідь і постійний протягом усього періоду планування. Ослабимо тепер це припущення і розглянемо моделі, де попит детермінований, але змінюється з часом. Це можливо, наприклад, якщо замовлення зроблені заздалегідь, або підписані контракти, що визначають поставки на кілька наступних місяців, або попит розраховано відповідно до відомої виробничої програми.

У цьому випадку горизонт планування визначається як період, в якому попит відомий. Розглядається тільки кінцевий горизонт планування, проте це не є серйозним обмеженням, так як попит у віддаленому майбутньому зазвичай не робить істотного впливу на рішення, що приймаються в сьогоденні. Крім того, у багатьох випадках запаси схильні до зносу, і тому не має сенсу припускати, що продукція буде зберігатися в запасі нескінченно і вибирати відрізок планування надмірно великим.

Як і раніше, можна вважати, що є деяка система постачання (склад, оптова база та інше), діяльність якої зводиться до забезпечення попиту кінцевих споживачів на деякий продукт, для чого вона здійснює замовлення виробнику даного продукту.

Розглянемо моделі, в яких потрібно спланувати послідовність замовлень на T суміжних інтервалів часу. Попит задається як послідовність величин сумарного споживання в цих періодах.

Передбачається, що не допускаються заборгованості та відмови (відсутній дефіцит). Замовлення виконується повністю і часом між замовленням і його надходженням можна знехтувати.

Попит протягом етапу t (t=1, ..., T) відомий і позначається dt>0.

При розміщенні замовлення в y одиниць у період t нараховуються фіксовані витрати замовлення Kt і змінні (вартість замовлення або виробництва) ct(y). Нехай δ(y)=0, якщо y>1 та δ (0)=0. Тоді витрати замовлення в періоді t дорівнюють Ktδ(y)+ct(y).

Початковий запас і запас у кінці періоду Т передбачається відомим.

Витрати зберігання одиниці товару на етапі t ht>0.

Замовлення і попит визначаються на початку етапу. Запаси інспектуються наприкінці етапу. Тому витрати на зберігання на етапі t передбачаються пропорційними обсягу запасу, що переходить з етапу t в етап t + 1.

Нехай yt - кількість, що замовляється у період t, і Іt  ‑ рівень запасів у кінці періоду t. З використанням цих змінних завдання визначення обсягів замовлень, таких, щоб витрати замовлення і зберігання були мінімальні, може бути сформульована таким чином:

                                   (3.1)

                                    (3.2)

                                          (3.3)

Обмеження (3.2) називають обмеженнями балансу запасу. Оскільки , змінні It можуть бути виключені з формулювання і планом завдання можна вважати вектор (y1, ..., yT ).

Функції ct(y) слід враховувати, якщо витрати змінюються з часом або існують розриви цін.

У загальному випадку (3.1) - (3.3) являє собою задачу нелінійного програмування. Якщо враховуються фіксовані витрати замовлення Kt, цільова функція завдання розривна. Крім того, якщо змінні It, yt можуть приймати тільки цілі значення, то отримаємо задачу цілочисельного програмування.

Якщо цільова функція отриманого завдання адитивна, то для її вирішення може бути успішно застосований апарат динамічного програмування [4], в основі якого лежить твердження, що отримало назву принципу оптимальності Беллмана:

Для адитивної цільової функції рішення на всі інтервали, що залишилися, повинні становити оптимальну поведінку відносно стану, отриманого в результаті попереднього рішення, незалежно від раніше прийнятих рішень і початкового стану.

Нехай кожен інтервал часу t відповідає одному кроку. Розглянемо процедуру прямої прогонки, послідовно мінімізуючи витрати за 1, 2, ... T інтервали.

На кроці t стан системи визначається як обсяг запасу на кінець етапу, що задається співвідношенням (3.2), причому

.

Це нерівність означає, що в граничному випадку (при відсутності в подальшому замовлень) запас It може задовольнити попит на всіх наступних етапах.

В якості початкової умови використовуємо вимогу про збереження після завершення управління заданої кількості товару IT.

Нехай Ct(It, yt) - загальні витрати на етапах 1, 2, ..., t при заданій величині It на кінець етапу t і величиною замовлення yt,  – мінімальні загальні витрати на етапах 1,2, ..., t при заданій величині запасу It в кінці періоду t. На кожному етапі замовлення розміщуються в припущенні, що попередні замовлення розміщені оптимально. Тоді

,

пряме рекурентне співвідношення записується у вигляді

         (3.4)

Бо I1 = I0+ y1-d1, то y1=I1+I0+d1 та

.

Система рекурентних співвідношень (3.4) дозволяє знайти послідовність функцій стану  і умовних оптимальних управлінь yˆt(I). На кроці Т за допомогою початкової умови можна визначити . Решта значень оптимальних управлінь визначаються послідовно з використанням формули (3.2).

Припущення про нульовий час доставки може бути ослаблене, якщо припустити, що час поставки L визначено і відомо заздалегідь. В цьому випадку, якщо замовлення потрібно в період t, то замовлення робиться в період t-L.

Приклад 3.1. Вирішимо задачу при наступних даних.

Таблиця 3.1

Дані для прикладу 3.1

t

dt

Kt

ht

1

3

3

1

2

2

7

3

3

4

6

2

 

Вихідний запас I0=1, в кінці періоду планування I3=0. Нехай витрати на придбання продукції становлять 10 за кожну одиницю для перших трьох одиниць і 20 для кожної додатковою одиниці, тобто

Припускаємо, що замовляється ціле число одиниць товару. Наведемо результати покрокових обчислень для прямого алгоритму.

Крок 1. Так як y1 = I1 + d1 > 0 ,

Оскільки I1 може приймати тільки цілі значення, I1 ≤d 2 + d3=6.

Таблиця 3.2

Перший крок алгоритму

   I1

0

1

2

3

4

5

6

23

34

55

76

97

118

139

  y1

2

3

4

5

6

7

8

 

Крок 2.

I2d3=4, 0≤ y2≤I2 +d2= I2+2.

Для різних значень I2 і y2 обчислюємо значення функції, яку мінімізуємо. Наприклад, .

Результати запишемо в таблицю і знайдемо мінімальний елемент в кожному рядку.

 

Таблиця 3.3

Другий крок алгоритму

I 2 \ y2

0

1

2

3

4

5

6

0

55

51

50

 

 

 

 

1

79

75

64

63

 

 

 

2

103

99

88

77

86

 

 

3

127

123

112

101

100

109

 

4

151

147

136

125

124

123

132

Крок 3. I3 = 0 , 0 ≤ y3 ≤ I3 + d3 = 4 ,

Обчислимо витрати для різних y3. Наприклад,

Таблиця 3.4

Третій крок алгоритму

y3

0

1

2

3

4

C3 (0, y3 )

123

116

103

99

106

Звідси отримуємо, що загальні мінімальні витрати - 99, y3=3, I2= I3+ d3- y3=1, y2= 3, I1= I2+ d2-y2= 0, y1=2.

Розглянемо процедуру зворотного прогону для вирішення поставленого завдання. В якості опції стану керованої системи візьмемо мінімальний обсяг витрат, що виникають за періоди t, ..., T за умови, що до початку періоду t (до розміщення замовлення) є запас It-1.

Нехай Ct (I t -1 , yt ) - загальні витрати на етапах t, ..., T при заданій величині It-1 на початок етапу t і величиною замовлення yt,   - мінімальні загальні витрати на етапах t, ..., T при заданій величині It-1. На кожному етапі замовлення розміщуються в припущенні, що замовлення на наступних етапах розміщені оптимально. Покладемо . Тоді

,

основне рекурентне співвідношення записується у вигляді

 

 

 

Обговорення
Обговорити (0 коментарів)

Авторизація:

Реєстрація / Забули пароль?
Публікація
Назва:
Лекція №2. Модель з урахуванням витрат на виконання замовлення
(Робоча програма / Учбовий план)
Дата изменения:
19 березня 2019р., 11:56 AM
Оцінка:
Всього оцінок: 0

Оцінювати публікації можуть тільки зареєстровані користувачі

Просмотров: 443

Опитування Яким ресурсом системи "Херсонський Віртуальний Університет" Ви найчастіше користуєтеся?
відкритої групою 67
групою дистанційного навчання 89
е - бібліотекою 97
Всього голосів: 253
Результати...
Зареєструйтесь, щоб голосувати
Всі закладки...